For any vector $\vec a$, $|\vec a×\hat i|^2+|\vec a×\hat j|^2+|\vec a×\hat k|^2$ is equal to

$2|\vec a|^2$

Let $\vec a=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k$. Then,

$\vec a×\hat i=-a_2\hat k+a_3\hat j,\vec a×\hat j=a_1\hat k-a_3\hat i$ and $\vec a×\hat k=-a_1\hat j+a_2\hat i$

$∴\vec a$, $|\vec a×\hat i|^2+|\vec a×\hat j|^2+|\vec a×\hat k|^2$

$=({a_2}^2 + {a_3}^2) + ({a_1}^2 + {a_3}^2) + ({a_1}^2+ {a_2}^2)$

$=2({a_1}^2+ {a_2}^2+{a_3}^2)=2|\vec a|^2$