The vertices of a triangle have the position vectors $\vec a,\vec b,\vec c$ and $P(\vec r)$ is a point in the plane of Δ such that, $\vec a.\vec b+\vec c.\vec r=\vec a.\vec c+\vec b.\vec r=\vec b.\vec c+\vec a.\vec r$ then for the Δ, P is the:

Orthocentre

$\vec a.\vec b+\vec c.\vec r=\vec a.\vec c+\vec b.\vec r⇒(\vec a -\vec r).(\vec b-\vec c)=0$ … (i)

$\vec a.\vec b+\vec c.\vec r=\vec b.\vec c+\vec a.\vec r⇒(\vec b -\vec r).(\vec c-\vec a)=0$ … (ii)

$\vec b.\vec c+\vec a.\vec r=\vec c.\vec a+\vec b.\vec r⇒(\vec c -\vec r).(\vec a-\vec b)=0$ … (i)

Using (i), (ii) and (iii), $\vec{AP}⊥\vec{BC},\vec{BP}⊥\vec{AC}$ and $\vec{CP}⊥\vec{AB}$, respectively

Hence P is the orthocenter of ΔABC