The value of vec a .(vec b+vec c) ×(vec a+vec b+vec c), is

We have,

$\vec a+\vec b+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$

$⇒\vec a,\vec b+\vec c$ and $\vec a+\vec b+\vec c$ are coplanar.

$⇒\vec a .(\vec b+\vec c) ×(\vec a+\vec b+\vec c)=0$ i.e., $[\vec a\,\, \vec b+\vec c\,\, \vec a+\vec b+\vec c]=0$