What is the value of $\frac{tanθ - secθ + 1}{tanθ+sec θ - 1}$ ?

$\frac{cosθ}{(1+sinθ)}$

\(\frac{tanθ - secθ + 1}{ tanθ + secθ - 1 }\)

{ we know, sec²θ - tan²θ = 1 }

= \(\frac{tanθ - secθ + 1}{ tanθ + secθ - sec²θ - tan²θ }\)

= \(\frac{tanθ - secθ + 1 }{ tanθ + secθ - (secθ - tanθ) .(secθ + tanθ)}\)

= \(\frac{tanθ - secθ + 1}{ tanθ + secθ -  (secθ - tanθ) .(secθ + tanθ) }\)

= \(\frac{tanθ - secθ + 1}{ tanθ + secθ[1 -  (secθ - tanθ)] }\)

= \(\frac{1 }{ tanθ + secθ}\)

= \(\frac{cosθ }{ 1+sinθ}\)