For any three vectors, $\vec a,\vec b,\vec c$, the value of $\vec a×(\vec b×\vec c) + \vec b× (\vec c×\vec a) + \vec c×(\vec a×\vec b)$, is

$\vec 0$

We have,

$\vec a×(\vec b×\vec c) + \vec b× (\vec c×\vec a) + \vec c×(\vec a×\vec b)$

$=\{(\vec a. \vec c) \vec b-(\vec a. \vec b) \vec c\} + \{(\vec b. \vec a) \vec c −(\vec b. \vec c) \vec a\}+\{(\vec c. \vec b) \vec a-(\vec c. \vec a) \vec b\}$

$=\{(\vec a. \vec c) \vec b-(\vec a. \vec b) \vec c\} +\{(\vec a. \vec b) \vec c-(\vec b. \vec c) \vec a\}+\{(\vec b.\vec c) \vec a-(\vec a.\vec c) \vec b\}$

$=\vec 0$

REMARK It follows from the above illustration that the vectors $\vec a×(\vec b×\vec c),\vec b× (\vec c×\vec a)$ and $\vec c×(\vec a×\vec b)$ are coplanar.