If $(2 \sin A+{cosec}~A)=2 \sqrt{2}, 0^{\circ}<A<90^{\circ}$ then the value of $2\left(\sin ^4 A+\cos ^4 A\right)$ is:

1

We are given :-

( 2sinA + cosecA ) = 2√2

Let us assume that , A = 45º

( 2sin45º + cosec45º ) = 2√2

2 × \(\frac{1}{√2}\) + √2 = 2√2

√2 + √2 = 2√2

2√2 = 2√2

LHS = RHS   ( satisfied , so A - 45º )

Now,

2 ( sin4 A + cos4 A )

= 2 ( sin4 45º + cos4 45º )

= 2 ( \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) )  

{ sin 45º = cos 45º = \(\frac{1}{√2 }\) }

= 2 ( \(\frac{2}{4}\) )

= \(\frac{2}{2}\) 

= 1