Practicing Success
The value $\int\limits_1^a[x] f'(x) d x, a>1$, where $[x]$ denotes the greatest integer not exceeding $x$, is |
$a f(a)-\{f(1)+f(2)+...+f([a])\}$ $[a] f(a)-\{f(1)+f(2)+...+f([a])\}$ $[a] f([a])-\{f(1)+f(2)+...+f(a)\}$ $a f([a])-\{f(1)+f(2)+...+f(a)\}$ |
$[a] f(a)-\{f(1)+f(2)+...+f([a])\}$ |
Suppose $n \leq a<n+1$, where $n \in N$. Then, $[a]=n$. ∴ $I=\int\limits_1^a[x] f'(x) d x$ $\Rightarrow I=\sum\limits_{r=1}^{n-1} \int\limits_r^{r+1}[x] f'(x) d x+\int\limits_n^a[x] f'(x) d x$ $\Rightarrow I=\sum\limits_{r=1}^{n-1} \int\limits_r^{r+1} r f'(x) d x+\int\limits_n^a n f'(x) d x$ $\Rightarrow I=\sum\limits_{r=1}^{n-1} r[f(x)]_r^{r+1}+n[f(x)]_n^a$ $\Rightarrow I=\sum\limits_{r=1}^{n-1} r\{f(r+1)-f(r)\}+n\{f(a)-f(n)\}$ $\Rightarrow I=\{f(2)-f(1)\}+2\{f(3)-f(2)\}+3\{f(4)-f(3)\}+...+(n-1)\{f(n)-f(n-1)\}+n\{f(a)-f(n)\}$ $\Rightarrow I=-f(1)-f(2)-f(3)-f(4)-...-f(n-1)-f(n)+n f(a)$ $\Rightarrow I=[a] f(a)-\{f(1)+f(2)+f(3)+...+f[a]\}$ |