Distance of $P(\vec{p})$ from the line $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$, is:

$\left|(\vec{a}-\vec{p})+\frac{((\vec{p}-\vec{a}) . \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right|$

Let $Q(\vec{q})$ be the foot of altitude drawn from $P(\vec{p})$ to the line $=\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$,

$\Rightarrow(\vec{q}-\vec{p}) . \vec{b}=0$  and  $\vec{q}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$

$\Rightarrow(\vec{a}+\lambda \vec{b}-\vec{p}) . \vec{b}=0$

$\Rightarrow(\vec{a}-\vec{p}) . \vec{b}+\lambda|\vec{b}|^2=0$

$\Rightarrow \lambda=-\frac{(\vec{p}-\vec{a}) . \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

$\Rightarrow \vec{q}-\vec{p}=\vec{a}+\frac{((\vec{p}-\vec{a}) . \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}-\vec{p}$

$\Rightarrow|\vec{q}-\vec{p}|=\left|\vec{a}-\vec{p}+\frac{((\vec{p}-\vec{a}) . \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right|$