If $\vec a,\vec b,\vec c$ are three non-coplanar, non-null vectors and $\vec r$ is any vector in space, then $(\vec a×\vec b)×(\vec r×\vec c)+(\vec b×\vec c)×(\vec r×\vec a)+(\vec c×\vec a)×(\vec r×\vec b)$ is equal to

$2[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r$

$(\vec a×\vec b)×(\vec r×\vec c)=[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r-[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec r]\vec c$

$(\vec b×\vec c)×(\vec r×\vec a)=[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec a]\vec r-[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec r]\vec a$

$(\vec c×\vec a)×(\vec r×\vec b)=[\vec c\,\,\vec a\,\,\vec b]\vec r-[\vec c\,\,\vec a\,\,\vec r]\vec b$

$=3[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r-\left([\vec a\,\,\vec b\,\,\vec r]\vec c+[\vec b\,\,\vec c\,\,\vec r]\vec a+[\vec c\,\,\vec a\,\,\vec r]\vec b\right)$

$=3[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r-[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r$

$=2[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r$