sin2 5° + sin2 10° + sin2 15° + .............. sin2 85° + sin2 90° is…

sin 85° = cos 5°, sin 80° = cos10°, .... so on

[because sin θ = cos (90 - θ)]

Now,

⇒ (sin² 5° + sin² 85° + sin² 10° + sin² 80° + .... sin² 40° + sin² 50°) + (sin² 45° + sin² 90°)

⇒ (sin² 5° + cos² 5°) + (sin²10° + cos²10°) + ........ (sin² 40° + cos² 40°) ⇒ *8 pairs  + sin² 45° + sin² 90°

⇒ 8 × 1 + (\(\frac{1}{\sqrt {2 }}\))² + 1            ( because sin² θ + cos² θ = 1)

⇒ 9\(\frac{1}{2}\)