Let $\vec a =-\hat i-\hat k, \vec b = -\hat i +\hat j$ and $\vec c =\hat i+2\hat j + 3\hat k$ be three given vectors. If $\vec r$ is a vector such that $\vec r×\vec b =\vec c×\vec b$ and $\vec r.\vec a =0$, then the value of $\vec r.\vec b$ is

9

We have,

$\vec r×\vec b =\vec c×\vec b$

$⇒(\vec r−\vec c) × \vec b=\vec 0$

$⇒\vec r−\vec c$ is parallel to $\vec b$

$⇒\vec r−\vec c=λ\vec b$ for some scalar λ

$⇒\vec r=\vec c+λ\vec b$  ...(i)

$⇒\vec r.\vec a=\vec c.\vec a+λ(\vec b.\vec a)$

$⇒0=\vec c.\vec a+λ(\vec b.\vec a)$  $[∵\vec r.\vec a=0]$

$⇒λ\frac{\vec a.\vec c}{\vec a.\vec b}$

Substituting the value of 2 in (i), we get

$\vec r=\vec c-\frac{\vec a.\vec c}{\vec a.\vec b}\vec b$

$⇒\vec r.\vec b=(\vec c.\vec b)-\frac{\vec a.\vec c}{\vec a.\vec b}(\vec b.\vec b)⇒\vec r.\vec b=1-\frac{(-4)}{1}×2=9$