Evaluate $\int\limits_{0}^{1} x \log(1+2x) dx$

$\frac{3}{8} \ln(3)$

The correct answer is Option (1) → $\frac{3}{8} \ln(3)$

Let $I = \int\limits_{0}^{1} x \log(1 + 2x) dx$

$= \left[ \log(1 + 2x) \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + 2x} \cdot 2 \cdot \frac{x^2}{2} dx \quad [\text{Integration by parts}]$

$= \frac{1}{2} [x^2 \log(1 + 2x)]_{0}^{1} - \int\limits_{0}^{1} \frac{x^2}{1 + 2x} dx$

$= \frac{1}{2} [1 \log 3 - 0] - \int\limits_{0}^{1} \left[ \frac{x}{2} - \frac{\frac{x}{2}}{1 + 2x} \right] dx$

$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1} x \, dx + \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{1 + 2x} dx$

$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{2} \frac{(2x + 1 - 1)}{(2x + 1)} dx$

$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - 0 \right] + \frac{1}{4} \int\limits_{0}^{1} dx - \frac{1}{4} \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{1 + 2x} dx$

$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} [x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} [\log |1 + 2x|]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} [\log 3 - \log 1]$

$= \frac{1}{2} \log 3 - \frac{1}{8} \log 3 = \frac{3}{8} \log 3$