$(\vec a.\hat i) (\vec a×\hat i) + (\vec a.\hat j) × (\vec a×\hat j)+(\vec a.\hat k) (\vec a×\hat k)$ is equal to

$\vec 0$

Let $\vec a=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k$. Then,

$\vec a.\hat i=a_1,\vec a.\hat j=a_2,\vec a.\hat k=a_3$

$\vec a×\hat i= -a_2\hat k+a_3\hat j, \vec a×\hat j =a_1\hat k-a_3\hat i, \vec a×\hat k=-a_1\hat j+a_2\hat i$

$∴(\vec a.\hat i) (\vec a×\hat i) + (\vec a.\hat j) × (\vec a×\hat j)+(\vec a.\hat k) (\vec a×\hat k)$

$=a_1(-a_2\hat k+a_3\hat j)+a_2(a_1\hat k-a_3\hat i)+a_3(-a_1\hat j+a_2\hat i)=\vec 0$