If $\sec 31^{\circ}=x$, then $\sin ^2 59^{\circ}+\frac{1}{\sec ^2 31^{\circ}}-\frac{1}{\sin ^2 59^{\circ} {cosec}^2 59^{\circ}}$ is equal to:

$\frac{2-x^2}{x^2}$

We are given ,

sec 31º = x

Now,

sin²59º +  \(\frac{1}{sec² 31º}\) - \(\frac{1}{sin² 59º .cosec² 59º }\)

{ using , sin(90º - A ) = cosA   And sinA =  \(\frac{1}{cosA}\) }

= sin²(90º - 59º) +  \(\frac{1}{sec² 31º}\) - \(\frac{sin² 59º }{sin² 59º }\)

= cos²31º +  \(\frac{1}{sec² 31º}\) - 1

= \(\frac{1}{x² }\) +  \(\frac{1}{x² }\) - 1

=   \(\frac{2}{x² }\) - 1

=   \(\frac{2 -x² }{x² }\)