The matrix $A=\begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$ then $A^{-1}$ is equal to :

$\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3}\end{bmatrix}$

The correct answer is Option (3) → $\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3}\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

$|A|=2((-1)(2)-0)=-4≠0$

∴ A has inverse

$A=IA$

$\begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

$R_1→\frac{1}{2}R_1$

$\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 &0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

$R_2→(-1)R_2$

$R_3→\frac{1}{2}R_3$

$\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$

$∴A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 &0 \\0 & -1 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$