If $2cos^2 \theta = 3(1 - sin\theta ), 0° < \theta < 90°, $ then what is the value of $(tan2\theta +cosec3\theta -sec2\theta )$ ?

$\sqrt{3} -1$

2 cos²θ = 3 ( 1 - sinθ )

{ sin²θ + cos²θ= 1 }

2 (1-sin²θ) = 3 ( 1 - sinθ )

2 - 2sin²θ = 3 - 3sinθ

2sin²θ - 3sinθ + 1 = 0

2sin²θ - 2sinθ - sinθ + 1 = 0

2sinθ( sinθ - 1 ) - 1 ( sinθ - 1 ) = 0

( sinθ - 1 ).( 2sinθ - 1 ) = 0

Either sinθ - 1 = 0 OR 2sinθ - 1 = 0

sinθ = 1  ( not possible because 0 < θ < 90º )

So, 2sinθ - 1 = 0

sinθ = \(\frac{1}{2}\)

{ sin60º = \(\frac{1}{2}\) }

θ = 30º

Now,

( tan 2θ + cosec 3θ - sec 2θ )

= tan 60º + cosec 90º - sec 60º

= √3  + 1 - 2

= √3  - 1